Physikalische Größen

aus DerMoba, der Wissensdatenbank für Modellbahner
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Dieser Artikel stellt daher die wichtigsten physikalischen Größen zusammen, mit denen ein Modellbahner zu tun hat. Dabei geht er sowohl auf elektrische Größen wie Spannung und Strom als auch auf mechanische und elektromechanische ein. Neben einer Definition dieser Größen gibt der Text Hinweise zur Messung und zur Wirkung. Für einige weitergehende Informationen zur Meßtechnik sei auf den Artikel Allgemeine Anmerkungen zu Meßgeräten verwiesen.

Übersicht

Physikalische Größen
Größe Formelzeichen Einheit wichtige Formeln
Spannung U Volt (V)  
Strom I Ampere (A)  
Widerstand R Ohm (griech. Omega) R=U/I
Frequenz f Hertz (Hz)  
Induktivität L Henry (H) Z=2*pi*f*L
Kapazität C Farad (F) Z=1/(2*pi*f*C)
Leistung P Watt (W) P=U*I
Drehzahl n 1/s (1/Sekunde)  
Wirkungsgrad n (griech. eta)    
Masse m Gramm (g)  
Kraft F Newton (N) F=m*g mit g=9,81 kg*m/s2 (Gewichtskraft)
Moment M Newtonmeter (Nm) M=F*r mit r = Abstand in Meter

Physikalische Größenangaben werden häufig mit einem Skalierungsfaktor vor der Einheit angegeben (z. B. kg, mm). Die folgende Tabelle listet die wichtigsten auf:

Skalierungsfaktoren
Zeichen Faktor
M (Mega) 106 = 1.000.000
k (Kilo) 103 = 1.000
m (Milli) 10-3 = 0,001
u (Mikro) 10-6 = 0,000.001
n (Nano) 10-9 = 0,000.000.001
p (Piko) 10-12 = 0.000.000.000.001


Elektrik

Allgemeines

Jede elektrische Modellbahn benötigt elektrischen Strom zum Betrieb. In der Anfangszeit wurde hierzu der Strom "aus der Steckdose" direkt (!) mit den Gleisen verbunden und die an den Gleisen anliegende Spannung über einen veränderbaren Widerstand (Potentiometer) zur Steuerung der Geschwindigkeit benutzt. Bei 220V war dies entsprechend eine gefährliche Angelegenheit. 1925 wurde diese Steuerung aufgrund der damit verbundenen Gefahren in Deutschland verboten und die Modellbahnspannung auf 20V begrenzt. Heutige Transformatoren trennen die Modellbahnanschlüsse vom Haushaltsnetz und geben je nach Bauart zwischen 6 und 16V ab. Genaue Angaben hierzu finden sich auf dem Typenschild des jeweiligen Transformators. Die Normen Europäischer Modellbahnen (NEM) geben an, welche Spurweite mit welcher Nennspannung betrieben werden. Diese "Nennspannung" ist die maximal im Betrieb zulässige Spannung. Ursprünglich hatte kein motorisiertes Modell eine Elektronik integriert, so daß mit Hilfe der Amplitudenmodulation (AM) die Geschwindigkeit je nach Modell und Konstruktion bequem gesteuert werden konnte.

Ab ca. 1980 wurde angefangen, die Modelle mit einer Elektronik auszustatten, um die Fahreigenschaften zu "verbessern", ab ca. 1984 wurden Digitaldekoder benutzt, um einen Mehrzugbetrieb mit individuell schaltbaren Sonderfunktionen sowie leichterer Automatisierung zu ermöglichen. Mit Beginn dieser Elektronisierierung bzw. Digitalisierung wurden auch andere Ansteuerungen eingeführt. Recht vollmundig wurde dabei auch aggressive Werbung betrieben und dabei das Augenmerk auf für den Laien nur schwer überprüfbare bzw. nachvollziehbare Stichworte gelenkt:Wirkungsgrade, Leistungsreserven, Lebensdauer um nur einige zu nennen. Im folgenden sollen nun einige Beispiele mit Rechnungen erläutert werden, um dem interessierten Leser den Nachvollzug der Angaben zu ermöglichen. Hintergründe und weitergehende Informationen entnehme man der Literatur.


Spannungen

Definition

elektrische Spannungen auch als "elektrische Potentiale" bezeichnet, sind ein Maß für die zur Trennung elektrischer Ladungen aufgebrachte Energie. Werden die Ladungen wieder vereint, fließt ein elektrischer Strom und die Spannung nimmt wieder ab. Formelzeichen der Spannung ist U Einheit der elektrischen Spannung ist das Volt [U] = 1 V.

Messung

Ein Spannungsmesser (Voltmeter) wird parallel zum Meßobjekt angeschlossen.

Zur Messung von Spannungen gibt es sog. Voltmeter, mit der die elektr. Spannungen gemessen werden können. Vielfach sind Voltmeter in Multimetern integriert, die noch mehr elektrische Werte messen können. Zur Messung wird das Meßgerät eingeschalten, der Auswahlschalter auf den richtigen Bereich (dies setzt Kenntnis der zu erwartenden Verhältnisse voraus, ansonsten Finger weg!) gestellt und mit den Meßleitungen die Spannung zwischen den beiden zu messenden Punkten gemessen, wie im Bild zu sehen.

Die meisten Meßgeräte haben unterschiedliche Skalen und/oder Schalterstellungen für AC bzw. DC. Folgende Einstellungen sind zu empfehlen:

  • "AC" für Schienenspannungen bei AC und Digital, sowie Motorspannungen im AC-Betrieb ohne Elektronik und bei Märklin-C-Sinus-Motoren
  • "DC" für DC und Impulststeuerungen (z.B. MpC Classic), sowie bei Motorspannungen im DC- oder AC-Betrieb mit Elektronik jeglicher Art.

Dabei ist zu beachten, daß Meßgeräte normalerweise im Wechselspannungsbereich auf 50 Hz Sinus-Schwingungen (der Netzfrequenz) skaliert sind. Davon abweichende Wechselspannungen zeigen sie i. a. nicht korrekt an (Ausnahme: sehr hochwertige Meßgeräte mit sog. "True RMS").


Wirkung

Mit Variation der an den Schienen angelegten Spannung werden die Modellbahnmotoren in ihrer Geschwindigkeit beeinflußt: je höher die angelegte Spannung, desto größer die Geschwindigkeit des Modells. Wie stark die Spannung die Geschwindigkeit beeinflußt, hängt von vielen Größen ab: Last, Steigung, Motor, Getriebe u.v.a.m.

Spannungsarten

  • DC aus dem englischen von "direct current" für Gleichstrom (der aus einer Gleichspannung entsteht), also Gleichspannung, wie sie z.B. von Batterien oder sog. Gleichrichtern abgegeben werden. Gleichspannungen werden an Batterien, an der Schiene von DC-Anlagen und in gepulster Form zur Ansteuerung der Elektromotoren mit Elektronik jeglicher Art benutzt. (Letztere ist nicht völlig von UC abzugrenzen).
  • Wechselspannung
    AC aus dem englischen von "alternate current" für Wechselstrom (welcher aus einer Wechselspannung entsteht), also Wechselspannung, deren wichtigste Quelle Transformatoren sind. Wechselspannungen liegen an den Schienen von AC-( d.h. Märklin) Anlagen, an den Ausgägen konventioneller Transformatoren sowie an den Lichtausgängen bei Fahrstromgeräten für Gleichstromloks. Bei Digitalbetrieb jeglicher Art liegt auch eine Wechselspannung an den Schienen an, die jedoch eine rechteckige Kurvenform besitzt.
  • UC aus dem englischen für "universal current" als Bezeichnung für eine Übereinanderlagerung von AC und DC. Mischspannungen werden in DC-Digitalsystemen benutzt, welche ein analoges Modell ansteuern können. Da die Digitalsysteme mit AC (an den Schienen!) betrieben werden, kann ein DC-Motor nicht betrieben werden. Dieser ist erst mit dem Einsatz einer überlagerten DC steuerbar.

Spannungsverluste

Sie beeinflussen die Motor- (und somit auch Modell-)eigenschaften nachteilig. Es gibt zwei verschiedene Arten: lastabhängige und lastunabhängige Spannungsverluste.

  • lastabhängige Spannungverluste

Verursacht werden diese Spannungsverluste durch den Stromfluß durch Widerstände, wie sie in Form sog. "Übergangswiderstände" an nicht festen, elektrischen Kontakten wie Gleis/Rad, Relaiskontakte, Stecker/Muffen, Bürsten/Kommutator, aber auch an festen Kontakten wie Lötstellen auftreten können. In vielen Fällen sind diese Spannungsabfälle nicht direkt meßbar. Sie können im Fall der nicht festen Kontaktstellen durch Pflege klein gehalten werden. Vor allem die Umschaltkontakte von Relais bei Märklinmodellen verschmutzen leicht. Bei guter Pflege macht sich der vorhandene Übergangswiderstand nicht bemerkbar. Auffälligster, lastabhängiger Spannungsverlust ist im Transformator, dessen Ausgangsspannung vom Stromfluß abhängt: Leerlaufspannung eines unbelasteten Märklintransformators ist. z.B. 17,4 V, Nennspannung sind 16 V, bei einem Strom von 1A beträgt die Ausgangsspannung dieses Transformators nur noch ca. 15 V. Dieser Spannungsabfall stammt aus dem elektrischen Widerstand der Transformatorspule, durch den auch dieser Strom fließt. Im Artikel Fahrstromverdrahtung finden sich zahlreiche Hinweise zur Minimierung solcher Spannungsverluste.

  • lastunabhängige Spannungsverluste

Diese Spannungsverluste entstehen durch Halbleiter, die sog. "Schleusenspannung". Diese Spannung wird vom Halbleiter benötigt, damit er den Strom durchlassen kann (salopp ausgedrückt eine Art "Spannungszoll"). Sind die exakten Werte für Bauteile nicht bekannt, so kann die Schleusenspannung abgeschätzt werden: -0,7 V für jede Si-Diode und -1,4 V für jeden Transistor. Leider hat sich eingebürgert, die Schleusenspannung bei Betriebspannungen >10 V zu vernachlässigen. Daraus folgen unmittelbar Werbesprüche wie "während der Impulse liegt die volle Betriebsspannung am Motor an". Die Schleusenspannungen von Halbleitern sind teilweise auch tabelliert.

Es gibt keine Elektronik, die zwischen Schiene und Motor keinen Spannungsabfall erzeugt! Vernachlässigbar sind Spannungsverluste nur dann, wenn deren Summe <1% der Versorgungsspannung ist. Zu Spannungsverlusten ein Beispiel: Ein Transformator mit Nennspannung 16 VAC versorgt eine Digital-Zentraleinheit 6021 von Märklin. In dieser Zentraleinheit werden die 16 VAC mit einem Gleichrichter verändert: ein "Delon-Verdoppler" mit durchgeführter Masse und Glättungskondensatoren erzeugt aus 16 VAC eine ideelle Gleichspannung von 1,4*16 VAC=22,4 VDC. Ideell steht für verlustfrei. Zwischen Eingang und Ausgang der Zentraleinheit befinden sich Halbleiter und Widerstände (Letztere vernachlässigen wir hier). Die Summe der Schleusenspannung beträgt ca. 4,2 V. Folglich mißt man am Ausgang und somit auch an den Schienen der 6021-Zentraleinheit eine Spannung von 22,4 V-4,2 V = 18,2 V. Befinden sich nun Digitalmodelle auf den Schienen, wird deren Motor bei Betrieb auch von einer Spannung versorgt. Diese Versorgungsspannung der Motoren, die man mit "Klemmenspannung" (Klemmenspannung, weil dies die Spannung an den Motorklemmen bzw. -anschlüssen ist) bezeichnet, ist nicht identisch mit der Schienenspannung. Beispiele hierzu finden sich aufgelistet unter http://www.sheyn.de/Modellbahn/mb_loktests/Leistung/Strom.php. Man vergleiche die Einträge der Spalten "eff. Klemmenspannung" und "Schienenspannung" Zwischen den Schienenkontakten und dem Motor befindet sich eine Elektronik mit Halbleitern, einem "Graetz"-Gleichrichter, einer Schutzdiode oder Transistor und einem Leistungstransistor. Zusammen also -3,5 V oder -4,2 V. Folglich ist die Klemmenspannung, je nach Dekoder entweder 18,2 VDC-3,5 V=14,7 VDC oder 18,2 VDC-4,2 V=14 VDC. Zum "Graetz"-Gleichrichter noch zwei Anmerkungen: Werden am Eingang rechteckige Spannungen (Digital) angelegt, so ist die ideelle Ausgangsspannung (UAi) immer gleich groß (UAi/UE=Formfaktor=1). Wird hingegen eine Sinus-Wechselspannung angelegt, dann ist UAi/UE = 0,9. Befindet sich parallel zum Ausgang ein großer Kondensator zur Glättung, dann ist UAi/UE = 1,4. Reale Spannungen sind die Differenz aus ideeller Spannung und der Summe aller Schleusenspannungen.

Übung: man rechne die Klemmenspannung aus für: 17,4 VAC am Trafo für Digital DU= -7,7 V bzw. -8,4 V (16,7 VDC bzw. 16 VDC) 16 VAC am Trafo für Analog mit Schleußenspannung der Elektronik DU= -3,5 V (10,9 VDC) 12 VAC am Trafo für Digital mit Schleußenspannung der Elektronik und der Zentraleinheit DU= -4,9 V (11,9 VDC)

Im Digitalbetrieb sind Spannungsverluste durch Dekoder (z.B. ca. 0,7 V bei einigen Dekodern der Firma Märklin) größer als im Analogbetrieb.

Beispielwerte

  • Haushaltsnetz:230 VAC
  • H0/AC-Digital-Nennschienenspannung (bezogen auf H0/AC-Nennspannung): 18,2 VAC
  • H0/AC-Nenn-Schienenspannung: 16 VAC
  • H0/DC-Digital-Nennschienenspannung (bezogen auf H0/DC-Nennspannung): 14,0 VDC
  • H0/DC-Nenn-Schienenspannung: 12 VDC
  • "TTL"-Spannung 5 VDC
  • Batteriespannung 1,5 VDC

Weitere Werte finden sich in den Blättern der Normen Europäischer Modellbahnen NEM.


Ströme

Definition

Ströme entstehen durch gerichtete Bewegung von Ladungen. Die technische Stromrichtung geht vom Pluspol zum Minuspol, während die Bewegungsrichtung der Elektronen vom Minus- zum Pluspol ist! Soll ein Strom fließen, ist ein geschlossener Stromkreis, bestehend aus Stromquelle, Leitungen und Verbraucher, notwendig. Formelzeichen des elektrischen Stroms ist I, Einheit des elektrischen Stroms ist das Ampere, [I] = 1A.

Messung

Ein Strommesser (Amperemeter) wird in Serie zum Meßobjekt angeschlossen.

Zur Messung von Strömen können Amperemeter eingesetzt werden. Hierzu muß das Meßgerät in den Stromkreis eingebaut werden. Der zu messende Strom fließt also durch Last und Amperemeter!


Bei der Stromfehlermessung verfälscht der durch das Voltmeter fließende (kleine) Meßstrom die Strommessung.

Oft kommt es vor, daß Spannungen und Ströme gleichzeitig gemessen werden sollen. Da jedoch Voltmeter einen Strom aufnehmen bzw. an den Amperemetern eine Spannung abfällt, muß man sich entscheiden, wie der experimentelle Aufbau aussehen muß, da nur da näher am zu vermessenden Objekt (z.B. Motor) befindliche Meßgerät einen exakten Wert liefert. Die in der Modellbahn zu erwartenden Widerstände sind klein im Vergleich zum Innenwiderstand des Voltmeters. Daher ist die "Stromfehlerschaltung" (Anordnung Stromquelle-Amperemeter-Objekt/Voltmeter) vorzuziehen.

Bei der Spannungsfehlermessung verfälscht der am Amperemeter auftretende (kleine) Spannungsabfall die Spannungsmessung.

Wie bei Spannungen sind auch bei Strömen unterschiedliche Meßbereiche bzw. Skalen für AC bzw DC zu beachten. Für die Modellbahn günstig sind Amperemeter mit einem Bereich von 0-4A und kleiner. Zur Beurteilung von Motoren muß auch die Stromaufnahme der Elektronik (d.h. mit abgeklemmten Motor) gemessen werden. Die Differenz beider ist dann die Netto-Stromaufnahme des Motors. Die alternative Spannungsfehlerschaltung sollte nur angewandt werden, wenn Ströme genau gemessen werden sollen bzw. müssen. Leider hat sich eingebürgert, die Bruttoströme zu messen, ohne auf die sonstigen Verbraucher zu achten. Bei Beachtung der Vernachlässigungsgrenzen ist dies nicht zulässig!

Bei der Strommessung in Fahrstromleitungen sollte wegen leicht auftretender Kurzschlüsse im Weichenbereich vor allem bei älteren Modellen der Bereich 0-4 A anstelle 0-400 mA benutzt werden. Die Sicherungen werden es danken!

Wirkung

Elektrische Ströme erzeugen Wärme, verursachen Verluste und Verschleiß und sind ein Maß für die Last eines Motors. Wegen der Verlust-, Wärme- und Verschleißwirkung strebt man möglichst niedrige Ströme an, die von den Motoren aufgenommen werden. Für den Modellbahner heißt dies, die Getriebe und Motoren sauber und leichtgängig zu halten. Nimmt die Stromaufnahme eines Motors zu, so verringert sich i.d.R. die Geschwindigkeit. Ist die Stromaufnahme maximal, zu errechnen nach dem Ohm'schen Gesetz: U=R*I (R ist der elektrische Widerstand), so ist die Geschwindigkeit = 0. Zur Bemessung von Leistungsendstufen von elektronischen Motorsteuerungen in Modellen muß das Ohm'sche Gesetz angewandt werden!

Beispielwerte

Glühbirnen bei 16 VAC: 63,5 mA Stromaufnahmen von Motoren sind unter http://www.sheyn.de/Modellbahn/mb_loktests/Leistung/Strom.php aufgelistet. Die Beispiele enthalten Nettoströme sowie die Stromaufnahme aller sonstigen Verbraucher (Elektronik, Glühbirnen usw.) Maximal mögliche Ströme bei einem Widerstand von 10 W: 12 VDC analog: 12 VDC/10 W=1,2 A 16 VAC analog: 16 VAC/10 W=1,6 A Leichte Übungen mit R=10 Ohm: 16 VAC (Schiene) analog mit Dekoder (DU=-3,5 V) (1,19 A) 14 VDC (Schiene) Digital (DU=-2,1 V) (1,19 A) 16 VAC Trafoausgang mit Digital-CU 6021 (DUDekoder=-3,5 V) (1,47 A) schwere Übungen zu Übergangswiderständen bei RMotor=12 Om: 16 VAC (Schiene) analog mit Rges=22 Ohm (0,727 A)

16 VAC (Schiene) analog mit Dekoder, Rges=14 Ohm und DU=-3,5 V (0,85 A)


elektrischer Widerstand

Definition

Materialien setzen dem elektrischen Strom einen Widerstand, den elektrischen Widerstand, entgegen. Die Größe des Widerstands ist ein Maß für die Qualität des Materials als Leiter. Formelzeichen des elektrischen Widerstands ist R, Einheit ist das Ohm: [R]=1 Ohm. Ist der elektrische Widerstand unabhängig von Temperatur, Strom, Spannung usw. wird er auch als "Ohm'scher" Widerstand bezeichnet.

Messung

Ein Widerstandsmesser (Ohmmeter) wird an die beiden Anschlußpunkte des Meßobjekts angeschlossen. Das Meßobjekt muß dazu stromlos sein.

Widerstände können mit Ohmmetern gemessen werden, die in den meisten modernen Multimetern intergriert sind. Gemessen werden die Bauteile wie bei Spannungsmessungen. Um Fehler zu vermeiden, gerade im Hinblick auf Elektronik, sollten die Bauteile vom Rest der Elektronik isoliert sein (gilt vor allem für Elektromotoren). Die Messung erfolgt, indem über die Meßleitungen eine Spannung an das zu messende Bauteil gelegt wird, wobei die Schaltung stromlos (!) sein muß. Innerhalb des Meßgeräts wird dann der Strom gemessen. Aufgrund des Ohm'schen Gesetzes 

U = R * I (Spannung = Strom * Widerstand)

kann man Spannungen, Ströme und Widerstände ineinander umrechnen.

Wirkung

Widerstände bestimmen bei einer gegebenen Spannung die Stromstärke. Bei Motoren (die immer auch Gegenspannungserzeuger bzw. Generatoren sind) erzeugen Widerstände lastabhängige Spannungsverluste. Da diese unerwünscht sind, werden sie vermieden (keine bzw. möglichst kleine Widerstände im Motorstromkreis) oder möglich minimiert (z.B. durch Reinigung und Pflege stromführender Teile im Motorstromkreis). Widerstände (Potentiometer) können auch zur Einstellung der (Magnet-)Feldstärke in Spulen dienen (z.B: in Dekodern die aus den Reihenschlußmotoren älterer Marklinmodelle sog. Fremderregte Motoren machen). Widerstände hintereinander geschalten (in Reihe, Reihenschaltung) addieren sich:R=R1+R2+R3+... Widerstände nebeneinander geschalten (Parallelschaltung) addieren sich reziprok: 1/R = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3 +....

In Form von Leitungs- und Übergangswiderständen verringern sie die effektive Schienenspannung, die sich jedoch durch geeignete Maßnahmen minimieren lassen.


Beispielwerte

Beispiele für Anschlußwiderstände:

Wie zu sehen, ist mit Reinigungsoperationen einiges an Übergangswiderstand zu beseitigen!

Beispiele für sonstige Widerstände:

  • 0,1 - 1 Ohm pro Märklin-Metallgleis (je nach Zustand)
  • 250 Ohm pro Glühbirne (1 W bei 16 V)

Rechenbeispiele:

Die folgenden Rechenbeispiele sind auf die angegebenen Stromaufnahmen für die LED's ausgerichtet. Der Rechenweg basiert auf den Diodenkennlinien, die im betrachteten Bereich nahezu linear sind. Für eine Leuchtdiode soll der Strom auf 20 mA bei 3V begrenzt werden. Die LED hat eine Schleusenspannung von 1,6V (rot) und einen Durchlaßwiderstand von 17,5 Ohm. Wie groß muß der externe Widerstand sein? R = (U-USchleuse)/I - RLED = 1,4V/0,02A - 17,5 Ohm = 70 Ohm- 17,5 Ohm = 52,5 Ohm. 2 LED hintereinander bei 16 V, 20 mA, Schleusenspannung je 2,8 V (blau); Durchlaßwiderstand je 26 Ohm. R = (16 V-5,6 V)/0,02 A - 52 Ohm = 528 Ohm. Übung:

  • 4 LED hintereinander bei 16 V, 20 mA, Schleusenspannung je 2,9V (weiß); Durchlaßwiderstand je 34 Ohm. (84 Ohm)
  • 2 LED hintereinander bei 12 V, 20 mA, Schleusenspannung je 2,8V (grün); Durchlaßwiderstand je 27,5 Ohm. (265 Ohm)
  • 6 LED sollen als Beleuchtungsbrücke hintereinander geschalten werden. Versorgungsspannung 16 V, Betriebsstrom: 40 mA. Die LED haben 1,7 V Schleusenspannung und einen Durchlaßwiderstand von je 13 Ohm (gelb). Sind diese Anforderungen erfüllbar, wenn ja mit welchen Vorwiderstand? (ja, 67 Ohm)

Weitere Rechenbeispiele siehe auch Artikel Vorwiderstände_berechnen.

Bauteile

Widerstände sind auch als Bauteile bei den Elektronikversendern erhältlich. Ihr Widerstandswert ist häufig mit einem Farbcode gekennzeichnet. Bei der Auswahl muß man neben dem Widerstandswert auch auf die Belastbarkeit (Leistung) achten.


Frequenzen

Definition

Ändern Ströme oder Spannungen periodisch ihre Richtung bzw. Polarität, so liegt ein Wechselstrom bzw. eine Wechselspannung an. Die Anzahl der in einer Sekunde durchlaufenen Perioden ist die Frequenz. Formelzeichen für die Frequenz ist f oder n, Einheit der Frequenz ist das Hertz [f] = 1 Hz. In der Technik wird oft auch die sog. "Kreisfrequenz" w (kleines griechisches omega) benutzt, die mit der Frequenz im Zusammenhang steht: 

w = 2*pi*f (mit Kreiszahl pi=3,1415927).

Zur Unterscheidung von der Frequenz wird als Einheit 1/s angegeben.

Messung

Ein Frequenzmesser wird parallel zu den beiden Anschlußpunkten des Meßobjekts angeschlossen.

Frequenzen können mit Frequenzmeßgeräten, die bei guten Multimetern integriert sind, oder mit Oszilloskopen gemessen werden. Die eigentliche Messung mit einem Multimeter erfolgt analog zu Spannungsmessungen.Multimeter zeigen bei Strom- und Spannungsmessungen einen über die Zeit gemittelten "Effektivwert" an, und nicht Momentanwerte.

Lediglich Oszilloskope können Momentanwerte von Spannungen bzw. Strömen aufzeichnen. Dies ist bei der Beurteilung von Motoreigenschaften im Impulsbetrieb wichtig!

Wirkung

Je höher die Frequenz, desto geringer die nutzbare Leistung eines Motors, da sein induktiver Widerstand mit der Frequenz steigt. Der Effektivwert einer Wechselspannung oder gepulsten Gleichspannung ist die Gleichspannung, die beim untersuchten Verbraucher den selben Effekt wie die gemessene Spannung bewirkt (Wärme, Licht, Stromaufnahme, Lautstärke). Ohm'sche Widerstände werden von Frequenzen nicht beeinflußt, hingegen sind die Eigenschaften von Spulen (also Motoren) und Kondensatoren sehr stark von der Frequenz abhängig (siehe unten). Halbleiter sind nur dann von Frequenzen betroffen, wenn deren Ansprechzeit größer als die Dauer einer Periode (1/f) ist. Bei Meßgeräten ist dies i.A. der Fall, daher Effektivwerte. Weitere Informationen in der Literatur.

Beispielwerte

  • Pulsfrequenz des menschlichen Herzens: 1-1,6 Hz (60 - 100 Schläge in der Minute)
  • Untere Hörfrequenzschwelle des Menschen: 20 Hz
  • Netzfrequenz in Europa: 50 Hz
  • Pulsfrequenz von Märklin-Digitaldekodern ohne Regelung: 70 Hz
  • Impulsfrequenz von Märklin-Digitaldekodern ohne Regelung: 75 - 560 Hz
  • Impulsfrequenz von 6090-Dekodern (Märklin): 750 Hz
  • maximale Betriebsfrequenz ferromagnetischer Elektromotoren in der Modellbahn: 800 - 2000 Hz
  • Tonfrequenz von Eisenbahnnebelhörnern: 4000 Hz (=4 kHz)
  • "empfohlene" Mindestfrequenz für Glockenankermotoren: 16 kHz
  • Obere Hörfrequenzschwelle des Menschen: 16 - 20 kHz


Induktivität und Kapazität

Definition

Kondensatoren sind Speicher für elektrische Ladungen. Ein Maß für das Speichervermögen elektrischer Ladungen ist die Kapazität mit dem Formelzeichen C und der Einheit Farad [C] = 1 F. Diese Einheit ist sehr groß, daher sind unterteilungen in m,m, n oder pF sehr gängig (siehe Literatur).

Spulen (Induktivitäten) speichern die aufgenommene elektrische Energie in einem Magnetfeld. Die Induktivität gibt das Ausmaß dieser Speicherfähigkeit an. Formelzeichen L, Einheit Henry [L] = 1H. Auch diese Einheit ist recht groß.

Messung

Ein LCR-Meter wird parallel zu den beiden Anschlußpunkten des Kondensators angeschlossen.

Kapazitäten und Induktivitäten werden am besten mit speziellen Meßgeräten, den "LCR"-Metern gemessen. Die Messung selbst erfolgt analog den Spannungsmessungen, wobei die Meßleitungen eine Wechselspannung abgeben. Anhand der frequenzabhängigen Eigenschaften kann dann aus der Stromaufnahme die Kapazität oder Induktivität ermittelt werden, was im Meßgerät automatisch geschieht.

Ein LCR-Meter wird parallel zu den beiden Anschlußpunkten der Spule angeschlossen.

Bei zerlegbaren Motoren sollte die Anschlußinduktivität im eingebauten Zustand gemessen werden! Sofern eine Elektronik eingebaut ist, müssen zur Messung die Verbindungen zwischen Motor und Elektronik unterbrochen sein, um Fehler zu vermeiden! Einfache LCR-Meter haben einen relativ großen Fehler von ca. +/-5% vom Meßwert; LCR-Meter mit kleineren Fehlern (1%) sind z.Zt. recht teuer!

Wirkung

  • Gleichstrom

Im Gleichstrom nehmen Kondensatoren Ladungen auf, bis sie geladen sind. Dann stellen sie eine Unterbrechung des Stromkreises dar. Spulen lassen den Strom wie Ohm'sche Widerstände durch.

  • Wechselstrom

Im Wechselstrombetrieb (gilt auch für gepulsten Gleichstrom) verhalten sich Spulen und Kondensatoren unterschiedlich: Kondensatoren lassen mit zunehmender Frequenz den Strom immer besser durch. Der frequenzabhängige, kapazitive Blindwiderstand XC errechnet sich zu: 

XC = 1 / (w*C) mit w=2*pi*f

Spulen hingegen sperren mit zunehmender Frequenz für den Strom, da der induktive Blindwiderstand XL mit der Frequenz zunimmt: 

XL = (w*L) mit w=2*pi*f

Im frequenzbehafteten Betrieb (Impulsbetrieb, AC, UC) hängt der Leistungsfaktor cosj von den Anschlußwerten des Motors (L und R) sowie von der Frequenz n ab: 

cos phi = cos(arctan(2*pi*n*L/R))

Des Weiteren wird oft behauptet " je höher die Frequenz, desto eher wird der Motor (d.h. die Spule) mit einer Art Gleichspannung betrieben ". Gemeint ist hier der sog. Glättungseffekt, der erst ab einer Frequenz > R/L auftritt; gleichzeitig wird die aufgenommene und somit auch die nutzbare Leistung stark reduziert: cos phi = 0,157.

Werden Kondensatoren kombiniert, verändert sich die Gesamtkapazität. Bei Reihenschaltung ist 1/C = 1/C1 + 1/C2 + 1/C3 +...; bei Parallelschaltung ist C = C1 + C2 + C3 + .... Spulen hingegen verhalten sich bei Kombinatino wie Widerstände. In Reihenschaltung gilt L = L1 + L2 + L3 + .... und bei Parallelschaltung 1/L = 1/L1 + 1/L2 + 1/L3 + ..... In Kombination mit Ohm'schen Widerständen entstehen "Scheinwiderstände" (Z) für die gilt: 

Z = sqrt(R2 + (XC bzw. XL)2)

Mit Blind- bzw. Scheinwiderständen können analog dem Ohm'schen Gesetz Ströme und Spannung errechnet werden. Die Eigenschaft der Kondensatoren bei hoher Frequenz größere Ströme durchzulassen muß beim Umstieg vom Analogbetrieb auf Digital beachtet werden, falls in der Anlage sog. "Entstörgleise" eingebaut sind: I = U/XC. Man rechne dies für einen Kondensator mit C=0,47 uF bei 16 V für 50 Hz und für 16 kHz durch! Lade- und Entladezeiten für Kondensatoren (wichtig für elektronische Gedächtnisse!) errechnen sich zu t = 5RC. Durch Spulen fließende Ströme erzeugen ein Magnetfeld, dessen Stärke von der Induktivität abhängt. Daher ist die Induktivität von Feldmagneten zum Antrieb von zentraler Bedeutung. Gleichzeitig wird ein Mindeststrom benötigt, dessen Größe ausschließlich von Modell und Last, jedoch nicht von der Versorgungsspannung (in erster Näherung) abhängt.

Beispielwerte und Rechenübungen

  • Anschlußinduktivität eines DC-Motors Typ FH 1319-12S: 0,48 mH
  • Anschlußinduktivität eines Märklinmotors Typ DCM1 (Läufer): 9,00 mH (Ständer): 4,50 mH

Rechenbeispiele:

  • Ein AC-Motor mit R=13 Ohm und L=13,5 mH soll bei 16 V und 50 Hz betrieben werden. Wie groß ist die maximal mögliche Stromstärke? XL = wL = 4,2 Ohm; Z = 13,7 Ohm; I = U/Z = 1,17 A.
  • Ein DC-Motor soll bei Gleichstrom (0 Hz) mit 12 V betrieben werden, R=22 Ohm. Wie groß ist der maximale Strom? (0,545 A)
  • Oben genannter AC-Motor nimmt mindestens 0,3 A auf (schwerer Zug). Kann er bei 1 kHz Pulsfrequenz betrieben werden? nein
  • Schwere Übung: Obiger DC-Motor darf nicht mehr als 0,24 A aufnehmen. Welche Pulsfrequenz muß mindestens benutzt werden, um ein Überschreiten dieses Strom bei 12 V auch im Stillstand zu gewährleisten? (ca. 15 kHz)

Übungen zu cos phi:

Man berechne cos phi

  • DC-Motor, R=22 Ohm, L=0,48mH bei 0Hz (1,00)
  • DC-Motor, R=22 Ohm, L=0,48mH bei 1kHz (0,991)
  • DC-Motor, R=22 Ohm, L=0,48mH bei 16kHz (0,415)
  • AC-Motor, R=19 Ohm, L=13mH bei 0Hz (1,00)
  • AC-Motor, R=19 Ohm, L=13mH bei 50Hz (0,978)
  • AC-Motor, R=19 Ohm, L=13mH bei 1kHz (0,227)

Berechne die Mindestfrequenz, um Glättung von Rechteckimpulsen zu erreichen

  • DC-Motor, R=22 Ohm, L=0,48 mH (45,8 kHz)
  • AC-Motor, R=19 Ohm, L=13 mH (1,46 kHz)

Bauelemente

Kapazitäten und Induktivitäten sind als Bauelemente bei den Elektronikversendern als Kondensatoren resp. Spulen erhältlich. Dabei ist neben der Kapazität (Induktivität) auch auf die maximale Spannung (Strom) zu achten.


Elektrische Leistung

Definition

elektrische Leistungen sind das Produkt aus Strom und Spannung: 

P = U * I (sog. Gleichstromleistung)

Bei Wechselströmen oder gepulsten Gleichströmen gilt: 

P = U * I * cos phi

Hierbei ist "cos phi" der sog. Leistungsfaktor, welcher von Motoreigenschaften und Frequenzen abhängt. Weitere Informationen hierzu finden sich in der Literatur. Formelzeichen der (Wirk)-Leistung ist P, Einheit das Watt: [P] = 1 W

Messung

Leistungen können entweder direkt mit "Leistungsmessern" oder indirekt mit simultaner Spannungs- und Strommessung bestimmt werden. Genaueste Ergebnisse gibt die oben genannte Stromfehlerschaltung. Im Unterpunkt "Ströme" angegebene Stromaufnahmen bei 12V/50 Hz lassen sich leicht in die dazugehörige Leistungsaufnahme umrechnen, wobei der Leistungsfaktor bei 50 Hz vernachlässigt werden kann. Analoges gilt für Stromaufnahmen von DC-betriebenen Modellen ohne Elektronik.

Wirkung

Die mit oben genannten Meßgeräten bestimmte Leistung ist die sog. "Primär"- oder aufgenommene Leistung mit dem Formelzeichen P1. Von dieser Leistung müssen alle Verluste und die Nutzleistung bestritten werden.

Die aufgenommene Leistung ist kein Maß für die tatsächliche Nutzleistung! Dennoch ist die aufgenommene Leistung Bezugswert für den Wirkungsgrad (siehe dem). Ferner gibt es eine Abschätzung: die maximale Nutzleistung eines Motors beträgt (theoretisch) etwa ein Viertel der maximal aufnehmbaren Leistung: 

P2max = P1max/4

In der Praxis sind für Modelle mit Stirnradgetriebe ca. 1/10, für Modelle mit Schneckengetriebe ca. 1/20 erreichbar. Ferner muß darauf geachtet werden, worauf die aufgenommene Leistung bezogen wird: Schienenspannung, Trafospannung, Klemmenspannung.... Leistungsverluste entstehen u.a. durch Stromfluß. Wendet man das Ohm'sche Gesetz auf obige Leistungsformel für DC an, erhält man: 

P = U2/R bzw. R*I2

bzw. bei frequenzbehafteten Leistungen: 

P = U2*cos phi/Z

Da wir bereits feststellten, daß der maximale Strom nur bei Motorstillstand fließen kann, sind die U2-Formeln ebenfalls nur Maximalwerte, die in keinem Fall überschritten werden können. Die I2-Formel ist die sog. Wärmeleistung des Ohm'schen Verbrauchers, durch den der Strom fließt. Man sieht: die Wärmeentwicklung steigt mit dem Widerstand und dem Quadrat des Stroms!

Beispielwerte

  • Primärleistungen
  • Wärmeverlustleistung

Wärmeverluste entstehen, wie bereits erwähnt durch Stromfluß. Am Beispiel des unter "Widerstand" genannten Motors seien die Wärmeleistungen verglichen:

  • Märklinmotor SFCM ungereinigt bei I=0,3 A: 2,18 W
  • Märklinmotor SFCM gereinigt bei I=0,3 A: 1,54 W
  • Märklinmotor SFCM mit Dekoder, R=14 Ohm bei I=0,3 A: 1,26 W

Die Tatsache des niedrigeren Widerstands beim Einbau eines Dekoders steht im Zusammenhang mit dem nicht unerheblichen Übergangswiderstand zwischen Relais und Modellchassis. Für das unter Primärleistungen genannte SFCM-Modell gilt eine Wärmeverlustleistung von 3,79 W bzw. 4,33 W.

Rechenbeispiele

Man berechne die max. Leistungsaufnahme (ohne Berücksichtigung von cos phi): DC-Motor, R=22 Ohm, L=0,48mH bei 0 Hz und 12 V (6,55 W) DC-Motor, R=22 Ohm, L=0,48mH bei 1 kHz und 12 V (6,48 W) DC-Motor, R=22 Ohm, L=0,48mH bei 16 kHz und 12 V (2,72 W) AC-Motor, R=19 Ohm, L=13mH bei 0 Hz und 12V (7,58 W) AC-Motor, R=19 Ohm, L=13mH bei 50 Hz und 12V (7,41 W) AC-Motor, R=19 Ohm, L=13mH bei 1 kHz und 12V (1,72 W) Man berechne die max. Leistungsaufnahme (mit Berücksichtigung von cos phi): DC-Motor, wie oben bei 0 Hz, 12 V und cos phi=1,00 (6,55 W) DC-Motor, wie oben bei 1 kHz, 12 V und cos phi=0,991 (6,42 W) DC-Motor, wie oben bei 16 kHz, 12 V und cos phi=0,415 (1,13 W) AC-Motor, wie oben bei 0 Hz, 12 V und cos phi=1,00 (7,58 W) AC-Motor, wie oben bei 50 Hz, 12 V und cos phi=0,978 (7,25 W) AC-Motor, wie oben bei 1 kHz, 12 V und cos phi=0,227 (0,39 W)


Mechanik

Getriebeteile

Zahnräder

Zahnräder dienen der schlupffreien Übertragung von Bewegungsenergie vom Läufer zu den Treibrädern. Gleichzeitig wird mit Hilfe der Zahnräder eine Untersetzung (s.d.) zur Anpassung der Läufereigenschaften auf die gewünschte Modellgeschwindigkeit realisiert. Für die Untersetzung ist die Anzahl der Zähne eines Zahnrads wichtig. Diese wird bestimmt, indem diese Anzahl einfach abgezählt wird. 

Die Zähnezahl eines Zahnrads ist dessen Summe aller Zähne

Um nun Zahnräder kombinieren zu können, muß das Modul m übereinstimmen. Diese Größe ist der Quotient aus mittlerem Durchmesser (etwa in halber Zahnhöhe) und Zähnezahl: 

m = d/z

Zähnezahlen werden mit vorangestelltem Z angegeben: Z8 für 8 Zähne, Z42 für 42 Zähne usf. Die Angabe Z30/15 bedeutet ein Doppelzahnrad mit 30 Zähnen auf dem großen Rad und 15 Zähnen auf dem kleinen Rad. Weitere Werte zu Zahnrädern entnehme man der zitierten Literatur.

Schneckenräder

Schneckenräder werden benutzt, um große Untersetzungen auf kleinem Raum unterzubringen, sowie für Getriebe, bei denen die Drehachse des Läufers aus konstruktiven Gründen in Bewegungsrichtung liegen (d.h. senkrecht zur Drehachse der Treibachsen). Schnecken haben statt Zähnen Gänge, die wie bei einer Schraube um die Achse gewunden sind. Deshalb wird die Zähnezahl einer Schnecke auch "Gangzahl" genannt. 

Die Anzahl der im Stirnschnitt einer Schnecke geschnittenen Zähne ist deren Zähnezahl.

Um diese Gangzahl zu bestimmen verfährt man wie folgt: man markiere mit einem abwischbaren Filzschreiber eine komplette Umdrehung um die Schneckenachse und zähle die Anzahl der zwischen beiden Markierungen liegenden Gänge (der erste, markierte Gang zählt mit!). nach der Bestimmung die Markierung wieder entfernen! Ein "Stirnschnitt" ist senkrecht zur Drehachse der Schnecke. Weitere Definitionen wie Axialschnitt, Normalschnitt usw. finden sich im "Kabus/Decker" (Literatur).


Getriebewerte

Untersetzung

Erst durch die Kombination von Zahnrädern und Schnecken kann eine Untersetzung erreicht werden, die den elektromechanischen und modelltypischen Anforderungen entspricht. Dabei gilt: 

Die Untersetzung i ist das Verhältnis Zähnezahl treibendes Element/Zähnezahl getriebenes Element.

Beispiele

  • Zahnrad1 Z8, Zahnrad2 Z24, i = 8/24 = 1/3 (= 1:3)
  • Schnecke1 Z1, Zahnrad2 Z10; i = 1/10 (= 1:10)
  • Zahnrad1 Z12, Zahnrad2 Z33; i = 12/33 = 4/11 (= 1:2,75)

Um nun die Gesamtuntersetzung des Getriebes zu bestimmen, müssen alle Einzeluntersetzungen von Läufer bis zum Treibrad miteinander multipliziert werden: 

Die Getriebeuntersetzung ist das Produkt aller Einzeluntersetzungen vom Läufer bis zum Treibrad.

Beispiele

  • Zahnrad1 Z7, Zahnrad2 Z42/8, Zahnrad3 Z42, Zahnrad4 Z22; i= 7/42 * 8/42 * 42/22 = 1/6 * 4/11 = 2/33 (1:16,5)
  • Zahnrad1 Z8, Zahnrad2 Z30/15, Zahnrad3 Z30/12, Zahnrad4 Z35, Zahnrad5 Z22; i= 4/15 * 1/2 * 6/11 = 4/55 (1:13,75)
  • Schnecke1 Z1, Zahnrad2 Z19/14, Zahnrad3,4,5 Z17, Zahnrad6 Z23; i= 1/19 * 14/17 * 17/17 * 17/17 * 17/23 = 14/437 (1:31,21)
  • Z7, Z25/12, Z30/14, Z25, Z42; i= 7/25 * 12/30 * 14/25 * 25/42 = 7/25 * 2/5 * 1/3 = 14/375 (1:26,79)

Bei Verbesserungen, Umbauten oder gar Konstruktion von Getrieben und -teilen sollte noch beachtet werden: Zur Vermeidung bzw. Reduzierung eines vorzeitigen Verschleißes sollte stets ein ungeradzahliges Verhältnis gewählt werden, also nicht wie oben 8/24 sondern lieber 8/25.

Wirkungsgrad

Alle Kombinationen von Schnecken und Zahnrädern übertragen Kräfte bzw. Drehmomente. Dabei treten Verluste auf, die durch die Rotation auftreten (sog. "Wälzgleiten") und von der Materialpaarung abhängen.

Für das Wälzgleiten gelten folgende Wirkungsgrade (Paarungen geschmiert):

  • 0,94 für Metall/Metall
  • 0,88 für Metall/Kunststoff
  • 0,85 für Kunststoff/Kunststoff

Schnecken haben zusätzlich noch Verluste durch das Längsgleiten. Um diesen Wirkungsgrad zu bestimmen, muß man die Steigung der Schraubung bestimmen. Dazu nimmt man ein Geodreieck, richtet dieses nach der Schneckenachse aus mit dem Nullpunkt an einem Gang, verlängert mit einem geraden Gegenstand den "Gang" bis man am Geodreieck den Winkel ablesen kann. Die Differenz des abgelesenen Wertes zum 90°-Winkel ist der gesuchte Wert (hier einfach mit g bezeichnet). Für den Wirkungsgrad gilt angenähert: 

h = tan g/(tan(g+6°))

Bei Schnecken sehr hoher Qualität sind es statt +6° nur +3°. Zwei Beispiele hierzu:

  • Eine Schnecke hat eine Steigung von 10° ; daraus errechnet sich ein Wirkungsgrad von tan10°/tan16° = 0,615
  • Eine zweite Schnecke besitzt eine Steigung von nur 4°, folglich ist der Wirkungsgrad =tan4°/tan10° = 0,397

Oben genannte Beispiele für Getriebeuntersetzungen sind in dieser Reihenfolge aus Metall, Metall, Kunststoff und Metall. Mit Abkürzung "M" für Metall- bzw. "K" für Kunststoffzahnräder kann man schreiben "MMMM, MMMMM, KKKKKK oder MMMMM". Zur Berechnung kann man diese Notierung im Wirkungsgrad-Onlinerechner benutzen. Man rechne die genannten Wirkungsgrade aus (0,831; 0,781; 0,444; 0,781). In diesem Formular ist auch der Wirkungsgrad vom Längsgleiten bei Schnecken zu berechnen. Man bestimme für "KKKKKK" und einem abgeschätzten g=6° der Schnecke den Gesamtwirkungsgrad des Getriebes (0,444/0,494/0,219).


Zuggewichte und Zugkräfte

Gewichte (Massen) werden mit dem Formelsymbol m abgekürzt und haben die Einheit g oder kg Kräfte werden mit dem Formelsymbol F (aus dem englischen von "Force") abgekürzt und haben die Einheit 1 N (Newton) oder 1 kg*m/s2 Oft wird die maximale Zugkraft von Modellen in Gramm ausgedrückt, obwohl diese Einheit eine Masse (Gewicht) ist. Aufgrund des einfachen Zusammenhangs zwischen Masse und Gewichtskraft verschwimmt hier die Trennung: 

Fg = m * g

Die Erdbeschleunigung hat den Wert g = 9,81 m/s2. Folglich ist die Gewichtskraft (gemessen in N(ewton)) ca. 10 * Masse (in kg). Zuggewichte werden oft über eine Seilrolle gemessen, da deren Berechnung von vielen Faktoren abhängt und somit für die meisten Modellbahner nicht in Betracht kommt. So sind zur Berechnung Achsandrückkräfte, Reibzahlen und Zustand der angetriebenen Räder, sowie Schienenmaterial, Steigung und in bestimmten Fällen auch die Motordaten von Bedeutung..

Das maximal mögliche Zuggewicht wird durch das Eigengewicht des Modells begrenzt. Es gibt kein Modell, welches ein größeres Gewicht ziehen kann, als sein Eigengewicht. Interessanter ist es, den Zusammenhang zwischen Zuggewicht und der Anzahl zu ziehender Wagen zu finden. Folgende Minitabelle gibt ein paar Anhaltspunkte (berechnet mit dem Online-Rechner für Zuggewichte ) für eine Zuggewicht von umgerechnet 34 g, wobei die benötigte Zuggewicht 

mZug = wt, rel (in der Tabelle angegeben) * mWagen

ist:

  • Stummelachsen, R=6mm, r=0,98mm, Metalllager, Blechaufbau, m = 150 g, mRadsatz = 22g; wt, rel ca. 4,54%; ergo 5 Wagen (20,5cm)
  • Nadelachsen, R=6mm, r=0,46mm, Metalllager, Blechaufbau, m = 150g, mRadsatz = 16g; wt, rel ca. 2,17%; ergo 10 Wagen (20,5cm)
  • Spitzachsen, R=5,2mm, r=0,23mm, Kunststofflager, Kunststoffaufbau, m = 130g, mRadsatz = 15,2g; wt, rel ca. 1,25%; ergo 21 Wagen (27cm)

Die berechnete Anzahl der Wagen konnte für ein Modell der BR 89 mit Plastikreifen und dem angegebenen Zuggewicht nachvollzogen werden.

Bei einem Vergleich sollte daher stets die Art der zu ziehenden Modelle angegeben werden! Die Anzahl der von einem Modell ziehbaren Wagen berechnet sich wie folgt: N = Zuggewicht des Modells / (wt, rel * Wagenmasse)

Man berechne die max. Anzahl von Wagen unter Abrunden auf ganze Zahl (Werte siehe oben):

  • Zuggewicht 30 g, Wagentyp mit Spitzachsen (18)
  • Zuggewicht 70 g, Wagentyp mit Nadelachsen (21)
  • Zuggewicht 140 g, Wagentyp mit Stummelachsen (20)

Drehmoment

Drehmomente (Formelzeichen M von Moment oder T aus dem englischen von torque) treten bei Drehbewegungen auf und berechnen sich nach: 

M = F * r

Nach dieser Formel sind die an den Treibrädern des Modells aufzuwendende Drehmomente zu Berechnen als Produkt aus Treibradradius und Zuggewicht. An der Läuferwelle sind alle Verlust- und Nutzmomente zusammengefaßt: 

Das vom Läufer zu leistende Drehmoment ist die Summe aller Verlust- und Nutzdrehmomente

Als Verlustmomente gelten:

  • Lagerreibung: hervorgerufen in den Lagern sich drehender Achsen und Wellen im Triebfahrzeug
  • Bürstenmomente: Drehmomentverluste durch die Bürsten und - Andrückfedern (falls beides vorhanden) Für Märklinmodelle läßt sich das Verlustmoment durch den Bürstenandruck ausrechnen mit dem Online-Rechner unter http://www.sheyn.de/Modellbahn/FAQ/Buerstenmoment.php
  • dynam. Verlustmomente: Drehzahlabhängige Verluste wie z.B. Luftreibung. In der Modellbahn größtenteils vernachlässigbar!
  • "Schwerereibungsmoment": Drehmoment durch das Eigengewicht des Triebfahrzeugs auf die nicht angetriebenen Räder.

Nutzdrehmomente sind:

  • "Schwerereibungsmoment": Drehmoment durch das Eigengewicht des Triebfahrzeugs auf die angetriebenen Räder.
  • Anhängelast: Zur Bewegung der Last notwendiges Drehmoment. Ist in jedem Fall kleiner als das "Schwerereibungsmoment"

Die Nutzdrehmomente entstehen an den Treibrädern und sind größer als das vom Läufer maximal erreichbare Drehmoment. Daher wird ein Getriebe benötigt, welches das Nutzdrehmoment auf ein erträgliches Maß herabsetzt. Der Anteil des Nutzdrehmoments vom Gesamtmoment am Läufer ist der Quotient aus Nutzdrehmoment und dem Produkt aus Getriebeuntersetzung und Getriebewirkungsgrad (vorrausgesetzt, die Reibzahlen sind bei der Bestimmung der Drehmomente bereits berücksichtigt!): 

MLäufer = MNutz / (nges*iges)

Kompliziert wird die Bestimmung des "Schwerereibungsmoment" als Nutzmoment, wenn mehrere Achsen angetrieben sind und unterschiedliche Materialien (Haftreifen!) benutzt werden. In diesem Fall ist das Nutzdrehmoment die Summe aller Einzelmomente, welche jeweils das Produkt aus Achsandrückkraft, Radradius und Reibzahl sind (Index j als laufende Nummer der Achse): 

MAchse,i = Fj * mj * rRad,j

Für die Reibzahl ui können folgende Werte näherungsweise eingesetzt werden:

  • Metall: 0,15
  • Plastikreifen: 0,6
  • Haftreifen (Gummi) 1

Zu Wirkungsgradmessungen wird mitunter ausschließlich die Anhängelast als unabhängige Variable angesehen. In diesem Fall ist auch das "Schwerereibungsmoment" durch die angetriebenen Achsen als Verlustmoment zu betrachten.

Drehzahl

Die Drehzahlen der Läufer sind so hoch (bis zu 500 1/s bei Nennspannung), daß damit ein Betrieb nicht möglich ist. Auch hier spielt die Getriebeuntersetzung eine zentrale Rolle: Die Drehzahl des Treibrads ist der Quotient aus Läuferdrehzahl und Getriebeuntersetzung: 

nTreibrad = nLäufer / iges

Mit Hilfe des Treibraddurchmessers und des Maßstabs, sowie den Vorbildinformationen läßt sich die Eignung des in Frage kommenden Motors (bei bekannten Eigenschaften) für das gewünschte Modell feststellen. Oft ist es bei Umbauten jedoch so, daß der Motor gegeben ist und die Drehzahl angepaßt werden soll. Dann muß das Getriebe entsprechend gestaltet werden. Einen Idealweg zu finden, der alle Betriebsfälle berücksichtigt, ist extrem aufwendig!


Elektromechanik

Die Elektromechanik verbindet die mechanischen Gegebenheiten mit den elektrischen Anforderungen an den Antrieb. Sozusagen als Kurzwort für "elektrisch angetriebene Mechanik". Eine andere, semantisch ungünstigere Bezeichnung ist "Mechatronik", die die Verbindung von Mechanik und Elektronik zu Ausdruck bringen soll.


Drehmomente und Stromaufnahme

Die zum Betrieb mindestens notwendige Nettostromaufnahme des Motors (Nicht des ganzen Modells!), unterhalb derer das Modell sich nicht bewegt, berechnet sich nach der Drehmomentenformel: 

M = k*I für fremderregte Motoren (Gleichstrommotoren)
M = k'*I2 für Reihenschlußmotoren (Märklin-Motoren)

Hierin sind k bzw. k' jeweils motorenspezifische Konstanten. Sofern das Getriebe verschmutzt ist, wird dementsprechend auch die Stromaufnahme steigen, da die Lagerreibung zunimmt. Bei Belastung nimmt die Stromaufnahme als Funktion des Motors und seiner Eigenschaften sowie von der Belastung selbst zu. Messungen hierzu sind unter http://www.sheyn.de/Modellbahn/mb_loktests/Leistung/Strom.php einschließlich dazugehöriger Diagramme zu finden. Je kräftiger der Motor, desto geringer die Steigung; die Anfangswerte hängen weniger vom Motor als von Getriebeuntersetzung und -zustand ab. Will man die Eigenschaften der Motoren untereinander vergleichen, eignet sich das Auftragen der relativen Stromaufnahme als Funktion des Drehmoments besser, da diese in Prozent des Leerlaufstroms aufgetragen werden. Auch hierzu sind Messungen zu finden unter http://www.sheyn.de/Modellbahn/mb_loktests/Leistung/Stromrel.php. Daneben ist die Stromaufnahme auch eine Funktion der Spannung wegen dynamischer Verluste. Gäbe es keine dynamischen Verluste, wäre die Stromaufnahme bei konstanter Belastung über den ganzen Spannungsbereich konstant. Bis auf einzelne (Meßfehler?) Messungen ist keine Konstanz zu sehen. In erster Näherung kann man folgern, je größer die Steigung (also I als Funktion von U), desto größer die dynamischen Verluste. Letztere können durch intensive (!) Pflege von Triebfahrzeug und Wagen recht klein gehalten werden.


Drehzahl

Drehzahlen hängen außer von der Betriebsspannung in charakteristischer Weise vom Motorentyp ab: 

n = konst * (U-R*I) für fremderregte Motoren (Gleichstrommotoren)
n = konst' * (U/I-R) für Reihenschlußmotoren (Märklin-Motoren)

Die Drehzahlformeln sind für Gleichstrom; für Wechselstrom und gepulste Gleichströme ist R durch Z zu ersetzen. Aus diesem Formeln gehen die Dependenzen der Drehzahl direkt hervor: Spannung, Stromaufnahme (via Drehmomentenformel somit auch die Last) und Anschlußwiderstand R (und bei frequenzbehafteten Ströen somit auch die Frequenz). Beispiele für das Verhalten der Drehzahl unter verschiedenen Lasten bei konstanter Versorgungsspannung finden sich unter http://www.sheyn.de/Modellbahn/mb_loktests/Drehzahl/Drehzahl.php. Ein Motor gilt als um so stärker, je flacher diese Kurve ist. Wie bereits bei den Drehmomenten lassen sich mit einem Vergleich der relativen Drehzahländerungen die Qualität der Motoren besser vergleichen: http://www.sheyn.de/Modellbahn/mb_loktests/Drehzahl/Drehzahlrel.php. Es gibt noch eine Reihe weiterer Werte, die mittelbar von dieser Drehzahlformel abhängen. Wichtigster Wert davon ist die Mindestspannung: Umin = Imin * R (bzw. Z). Ab dieser Mindestspannung kann die Drehzahl aufgrund der zur Bewegung notwendigen Stromaufnahme größer 0 werden, bis zu dieser Spannung bleibt der Motor stehen. Soll eine bestimmte Drehzahl nicht überschritten werden, so kann mit Hilfe dieser Drehzahlformel eine Mindestfrequenz errechnet werden, um dieses Ziel zu erreichen. Drehzahlen selbst hängen in charakteristischer Weise von der Stromaufnahme selbst ab, und sind für jeden Motortyp unterschiedlich.


Wirkungsgrad

Wirkungsgrade sind stets der Quotient aus abgegebener Leistung (Energie) zu aufgenommener Leistung (Energie) Aufgenommene Leistungen wurden bereits im Abschnitt "Leistung" besprochen. Abgegebene Leistungen sind das Produkt aus Kreisdrehzahlen und (Nutz)drehmomenten: P2 = 2*pi*n*M(Nutz). Messungen zu Wirkungsgraden finden sich unter http://www.sheyn.de/Modellbahn/mb_loktests/Wirkungsgrad/Wirkungsgrad.php. Bei diesem Messungen wird zwischen verschiedenen Bezugwerten unterschieden:

  • effektive Klemmenspannung: diese ist bei Modellen ohne Elektronik mit der Schienenspanung identisch.
  • effektive Schienenspannung: ist identisch mit Schienenspannung bei Tastgrad = 1; sobald der Tastgrad < 1 muß dieser berücksichtigt werden wegen der Stromüberhöhung während der Impulse
  • Schienenspannung: Nur dieser Wert ist zwischen allen aufgelisteten Modellen vergleichbar.

Bei der Angabe von Wirkungsgraden muß stets der Bezug angegeben werden, sonst ist ein Vergleich sinnlos!

In Verbindung mit den verschiedenen Motorsteuerungen sind weitere Details zu beachten.


Literatur

  • H. Hoffmann, "Formeln Mathematik, Physik, Chemie", Buch und Zeit Verlag Köln 1980
  • F.F. Mertens, "Physikalisch-Technische Elektrizitätslehre" Verlag Friedrich Viehweg & Sohn, Braunschweig 1927
  • Fa. Dr. Fritz Faulhaber, "Formeln, Faktoren, Einheiten" Schönaich/Württemberg
  • Fa. Dr. Fritz Faulhaber, "Übersichtsprospekt Mikromotoren" Schönaich/Württemberg
  • Karlheinz Kabus, "Decker, Maschinenelemente" 15. Auflage, Carl-Hanser-Verlag München-Wien 2000, ISBN 3-446-21525-5
  • Karlheinz Kabus, "Decker, Formelsammlung" 15. Auflage, Carl-Hanser-Verlag München-Wien 2000, ISBN 3-446-21523-9
  • Karlheinz Kabus, "Decker, Tabellen und Diagramme" 15. Auflage, Carl-Hanser-Verlag München-Wien 2000, ISBN 3-446-21525-5
  • St.-A. Heyn, "FAQ Motortechnik" (auf Anfrage), 2004
  • F. Sass, Ch. Bouche, A. Leitner, "Dubbels Taschenbuch für den Maschinenbau" 12. Auflage, Springer-Verlag Berlin/Göttingen/Heidelberg Neudruck 1963
  • Hans-Günther Steidle "Transistoren-Taschen-Tabelle" 13. Auflage, Franzis Verlag Müchen 1983, ISBN 3-7723-5443-2

Dieser Artikel entstammt dem Abschnitt 2 der FAQ "Wie funktioniert die Modellbahn" von Stephan-Alexander Heyn. Die vom Autor selbst gepflegte Fassung liegt unter http://www.sheyn.de/Modellbahn/FAQ/Funktion/Funktion.php.

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